南京林业大学2003年高等数学考研试题
一、填空题(共6小题，每小题4分，计24分)
1. 当 时， 与 为同阶无穷小，则 。
2. 设 ，则 。
3. 设 是以2为周期的函数，且 ，设 ，则 。
4. 已知 在 处取得极小值-2，则 ， 。
5. 设 ，则 。
6. 设 ，则 。
二、选择题(共6小题，每小题4分，计24分)
1. 是 的 条件。 ( )
(A) 充分 (B) 必要 (C) 既不充分也不必要 (D) 充要
2. 若实系数的方程 有四个不同的实根，则方程 的实根个数为 。 ( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 0
3. 设 ，则必定存在一个正数 ，使得 ( )
(A) 曲线 在 内是凹的。
(B) 曲线 在 内是凸的。
(C) 曲线 在 内单调减少，在 内单调增加。
(D) 曲线 在 内单调增加，在 内单调减少。
4. 若函数 在 上连续， 为 内任一固定点，则 。 ( )
(A) (B) (C) (D) 0
5.设在区间 上函数 ，令 ， ， ，则 。 ( )
(A) (B)
(C) (D)
6. 设 阶常系数齐次线性微分方程有一个特解 ，则 是该微分方程的一
个特征根。 ( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)
三、(本题满分8分) 求 的值，使函数 连续。
四、(本题满分8分) 已知函数 ，其中 二阶可微，求 。
五、(本题满分8分) 求证方程 有一个正根和两个负根。
六、(本题满分12分) 求函数 的单调区间及极值、凹凸区间及拐点、渐近线。
七、(本题满分9分) 设函数 在 上有二阶导数，且 ，求证：在区间 内至少存在一点 ，使 。
八、(本题满分10分) 设 具有二阶连续导数，且
，求证： 。
九、(本题满分8分) 在什么条件下，积分 为有理函数。
十、(本题满分10分) 求摆线一拱 与X轴所围图形绕其对称轴旋转一周所形成的立体体积。
十一、(本题满分10分) 求证： 。
十二、(本题满分10分) 已知微分方程 ，其中 ，求满足 且在 与 内满足微分方程的连续函数 。
十三、(本题满分9分) 求满足 及 的函数 。 | 
